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中考数学复习-初中数学知识要点

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初中数学审核员

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                 初中数学知识要点(2016.12)

    数学老师认为,数学的学习其实就是对概念的理解,然后对概念进行发
散与延伸,并在其中穿插重要的数学思想与方法。

一、数与式

1、 相反数:

(1)概念:

(2)特征:互为相反数的两个数的                      。

              1
(3)举例:①        的相反数         ;-2   的相反数         ;-2+5 的相反数是      
              3
;

    -(+2)=         ;-(-4)=           ;

②温度    3℃比   -8℃高      ;温度-10℃比-2℃低             ;从海拔    20m 到-8m,
下降了        .    ③若向东走     5 米记作+5   米,则向西走       5 米应记作       米。


*2、绝对值:

(1)概念:

(2)特征:正数的绝对值是                  ;负数的绝对值是               ;零的绝对值是     
;

(3)举例:①在数轴上与原点距离为                 4 个单位的点是         ;一个数的绝对值
等于  3,这个数是          ;

    1                                     2
②    的绝对值是          ;3 的绝对值是          ;    =     ;  4       ;
    2                                     3

  2      ;   3 =    ;  3      ;    5  2        ;  
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     3 1          ;  - 1  2      ;  

       去绝对值步骤:①判断绝对值里边的数或式子的正负情况。②分类讨论:
   如果为正,直接去掉绝对值;如果为负,去掉绝对值后给式子填括号和负号。


   3、倒数:

   (1)概念:

   (2)特征:互为倒数的两个数的                       。

                                    2
   (3)举例:①-2        的倒数是         ;   的倒数是          ;4  的相反数的倒数是    
                                    3
       1
   ;   的绝对值的倒数是            ;
       2

        1                       1                         1
   ②    的倒数是(         )   A.      B. 3    C. -3      D.    
        3                       3                         3

   ③已知    a、b 互为相反数,       c 、 d 互为倒数,    x 等于-2  的 3 次方,则式子
               1
   (cd  a  b)x  x 的值为     。
               2

   ④一个数的倒数是它本身的数是(                   )  A、1    B、-1   C、±1      D、0


   4、理解有理数的运算:

    ①加法:同号两数相加,取                 的符号,并把                  相加;异号两数
相加,取                      的符号,并用绝对值较大的数减去绝对值较小的数。

    ②减法:减去一个数等于                                     ;

    ③乘法:两数相乘,                       ,               。
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 ④除法:除以一个数等于                                              。

                                        1
举例:①-3-2=            -2+3=        (-2)+(- )=       -7+(-1)=      
                                        2

                             1
  -2-(-4)=              (-2)+ =        4.75+(-0.75)=     0-3=
                             2
12-(9-10)=           (5-10)-4=           2-4=        5+(-6)=   

②在-3,-1,0,2     这四个数中,最小数的是                 。

③计算    1-(-4)的结果是(        )   A、5       B、1     C、-1    D、-5

④已知    a,b 都是有理数,       a 1  b  2  0, 且 a+b =     .

⑤计算-3+2    的结果是(       )    A、1      B、-1      C、5      D、-5

                                                        1        1
⑥下面的数中,与-3         的和为   0 的是(     )  A、3    B、-3   C、      D、-
                                                        3        3

              1
⑦﹣1,0,0.2,     ,3  中正数一共有  个.
              7

⑧既不是正数也不是负数的数是                   ,它的相反数是            。

⑨最大的负整数是              ,最小的正整数是             。


5、乘方(幂的运算)

(1)同底数幂的乘法:

①法则:同底数幂的乘法,底数                    ,指数         。

②公式:                     ;逆用:                   。                  

③举例:a2×a4=          ;    

(2)同底数幂的除法:
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①法则:同底数幂的除法,底数                    ,指数         。

②公式:                     ;逆用:                   。 

③举例:x6÷x3=         ;

(3)积的乘方:

①法则:积的乘方等于                                     。

②公式:                     ;逆用:                   。 

③举例:(a2b)3=         ;    (-2x2y3)2=      ;

(4)幂的乘方:①法则:幂的乘方,底数                        ,指数         。

②公式:                     ;逆用:                   。 

③举例:(a3)3=         ;

(5)零指数幂:

①法则:任何数(0        除外)的零次幂都等于               。

②公式:     a0=     (a≠0);

③举例:     0=   ;       3 0=   ;    20140=    ;

(6)负整数指数幂:

①法则:

②公式:a-p=          ;

                                     1
③举例:2-3=        ;  (-2)-1=      ;(    )-3=      ;(-3)-2=          ;
                                     2

     2
  1 
          ;
  2 
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  (7)练习:①下列计算正确的是(                  )

    A.x5+x5=x10     B.x5·x5=x10    C.(x5)5=x10     D.x20÷x2= x10


                 3
  ②计算:      2x2 y  xy2             .

 6、科学计数法:把一个数写成             a×10n 的形式。(      1<  a<10)

举例:①国家游泳中心——“水立方”是北京                   2008 年奥运会场馆之一,它的外

    层膜的展开面积约为          260 000 平方米,将     260 000 用科学记数法表示应为            
    。

 ②下列用科学记数法表示正确的是(                     )

   A.0.008=8×10-2      B.0.0056=56×10-2     C.-0.00012=-1.2 ×10-5  D. 
 19000=1.9×104

 7、实数计算:

 ①计算:
                                             


          1
  ②计算:()﹣(3   ﹣)2﹣01∣1 (0 ﹣)∣2 3
          3


 ③计算:|   5| 2cos60°+      +
         ﹣ ﹣                             
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                                 1
  ④计算:     12  4sin 60  (3 )  ( )1
                                 3


⑤计算:      23  1 2  8 cos 45  (1)2005     


  ⑥计算:     22   4  tan 30  1 3

   


扩展  1:整式的加减乘除运算

(1)单项式的次数:

  ①概念:所有字母的指数和;

                                                     2xy2 z3
  ②举例:单项式         3ab 2 的次数是               ;单项式           的系数是      
                                                       3
,次数是        。

(2)同类项:
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  ①概念:所含字母相同,相同字母的指数也相同。

               m1   2       3 n2  2
  ②举例:若      3a   bc  和 2a   b   c  是同类项,则      m   n     

(3)多项式:

特殊:乘法公式

  ①平方差公式:

突破点:实质找出相同项、相反项;用相同项的平方减去相反项的平方。

  ②完全平方公式:

突破点:关键找出首相与尾项(包括符号),再利用口诀判断计算。

举例:①(x-3y)(x+3y)=                 。

       2
②若   4a +2ka +9 是一个完全平方式,则           k 等于         。(分类:中间项有
加、减两种情况)

③利用乘法公式计算:99×101

                                                       1
④化简求值:[(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4]÷(xy),其中          x=10,y= 
                                                       25


扩展  2:分式的加减乘除运算

(1)概念:分母中含有       的式子称为分式。

(2)三个条件:分式有意义,即               ;分式无意义,即              
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 ;分式的值为      0,即                             ;

                       x 2  4
 (3)举例:①要使分式                的值是    0,则  x 的值是             ;②若分式
                       x  2

   3x                                                 a  2
      有意义,则      x 满足的条件是               ;③若分式                 的值为
 2x 1                                             (a  2)(a  3)

 0,则  a=      .

 (4)分式的化简或计算:

 关键:分解因式;               方法:找公因式约去;                注意:运算顺序;

 易错点:化简求值时不考虑分母不为零。

                   x  2    x 1     x  4
①先化简代数式:         (                )     ,然后选取一个你喜欢的           x 的
                  x2  2x x2  4x  4  x
    值代入求值.


                     1    x  3 x 2  2x 1
 ②先化简,再求值:                             ,其中   x= -2.
                    x  3 x 2 1 x 2  4x  3

  

  


            2  x        3                   3           x 1
 ③                x 1                         x 1  2
    化简:     x 1       x 1        ④  化简:   x 1       x  4x  4
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扩展  3:分解因式

(1)概念:把一个多项式分解成几个因式                      的形式。(即:和差化积)

(2)思路与方法:①方法:一提二套三十字,另加分组分解法。

 ②思路:两项——平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);三项——完全平方和
(差)公式:a2±2ab+b2=(a±b)2,十字相乘法;四项——分组分解法。

 (3)练习:①-3ma3+6ma2-12ma=          ;         ②-4x+xy2=            ;

③m3-4m=                   ;④y2+4y+4=                    ;⑤x2-2x-8=                

;

⑥ a3  2a2b  ab2 =       ;⑦4+a2-4a=      ;

⑧  a 2  4a  4  c 2 =         ;⑨ma2-4ma+4a=__________; 

 ⑩ m 2  2n  mn  2m =           ;

8、实数:

(1)概念:即三种典型的无理数                      ;                   ;
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                 ;

(2)算术平方根、平方根、立方根:

    ①概念:

    ②理解算术平方根与平方根的关系:

    ③0,1,-1   的算术平方根、平方根、立方根:

(3)练习:①4       的平方根是          ,9  的算术平方根是            ,27  的立方根是    

,-8 的立方根是         。

②   16 的算数平方根是(           )   A. 4     B. ±4     C. 2    D.±2

③   9 的平方根是            ;   64 的立方根是                ,   2 的绝对值是        
。

④求近似值       2        ;  3       ; 5       ;

          0                             
⑤在    2  ,  3 8 ,0, 9 ,0.010010001……,  ,-0.333…,     5 , 
                                        2
3.1415,2.010101…(相邻两个     1 之间有   1 个 0)中,无理数有           个。

扩展:二次根式的运算:加、减、乘                 、除

1、二次根式的性质:(1)           ( a)2      ; ( 3)2       ;

(2)  ( a2 )       (a≥0)或       (a<0);(即双重负性);             52      

;   (2)2       ;

口诀:外平方直接出,里平方出去加绝对值,再去绝对值。
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(3)    ab          ,(a>0,b>0)         12   3  5 =

       a                                 6  3
(4)                , (a>0,b>0 )       
       b                                   2   =

2、最简二次根式

(1)概念:(三类需要化简:①根号下不含开得尽的数或式;②根号下不含
分母;③分母上不含根式)

化简方法:①记住        1——20   的平方;(注:同时也要记住             1——10   的立方)


                                                   1
          ②分母有理化:把分母中的根号去掉。(1)                      =    ;(2)
                                                   3

 1
         ;
  2

                    1                  2                   2
考点加难点:(3)              =     ;(4)                ;(5)                
                   a  b             2  3                2  3
。

二、方程、函数、不等式

(一)方程

1、一元一次方程的解法

2、二元一次方程组的解法(考实际问题,压轴题的第一问),二元一次方程
与一次函数的关系(考看图求值)。

3、一元二次方程:
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                                                         根与系数的关
  一般形式         根的判别式          求根公式             解法
                                                              系 


考点一:一元二次方程的三种解法(补充十字相乘法);

考点二:一元二次方程联系实际问题求最值;

考点三:一元二次方程根与系数的关系(整体思想)。

考点四:平均增长率问题:原量为               a,经过连续两次增长(平均增长率为                 x)后
变为  b,则它们之间的关系是           

练习:①已知       x  1是方程  x2  ax  6  0的一个根,则   a=        ,另一个根

为      。

                     2
  ②如果   x1、x2 是方程  2x  3x  6  0 的两个根,那么  x1  x2 =      ,  x1  x2 =       

。

  ③若方程     kx2–6x+1=0 有两个实数根,则       k 的取值范围是               .


                    2                  1   1
  ④已知   x1、x2 是方程  x  2x 1的两个根,则          =           ;  x1  x2        
                                       x1  x2

;

   ⑤某超市一月份的营业额为         200 万元,三月份的营业额为        288 万元,如果每月比上
月增长的百分数相同,则平均每月的增长率为(                      )

     A、10%             B、15%        C、 20%         D、 25%

  ⑥一件产品原来每件的成本是          100 元,由于连续两次降低成本,现在的成本是              81 元,
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则平均每次降低成本(           )   A、8.5%      B、9%        C、9.5%       D、10%

  ⑦用换元法解方程:(x2         -1 )2 -  5(x2 -1 ) + 4 = 0


 


⑧解下列方程:


                                                      2
1、 x 2  5x 1  0 (用配方法)                      2、 3x  2  xx  2

3、 2x 2  2 2x  5  0                              4、 x2  6x  8


   

 ⑧某商店将进货为         8 元的商品按每件       10 元售出,每天可销售         200 件,现在
采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品按每件的销售

价每提高    0.5 元其销售量就减少        10 件,问应将每件售价定为多少元时,才能
使每天利润为      640 元?
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4、分式方程:

  概念:分母中含            的方程;      关键:找最简公分母;             注意:需检验

                   x       m 2
  (1)使分式方程             2     产生增根,m     的值为     .
                  x  3    x  3

                  1 2x      3               2    3     6
  (  )解方程:                                          
    2          ①        2             ②              2
                  x  2     2  x           x 1 1 x x  1       


  ③


(二)函数:  

考点  1、函数自变量       x 的取值范围:

(1)整式:任意实数;函数            y  2x  5 的自变量  x 的取值范围是               。
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                                 2
(2)分式:分母不等于          0;函数    y     的自变量     x 的取值范围是         
                                x  3
。

(3)根式:被开方数≥0;函数             y   2x  5 的自变量   x 的取值范围是         
。

(4)零指数、负指数:底数不等于               0;函数    y  x  20 的自变量 x 的取值范

围是           ;函数   y  3x  92 的自变量 x 的取值范围是              。

                                2x  4
(5)既是分式又含根式:函数             y         的自变量    x 的取值范围是         
                                x  3
。

                             x2  4
(6)当   x=         时,函数    y      的值为    0.
                              x  2

考点  2、反比例函数与一次函数

(1)一次函数的一般表达式是                          ;反比例函数的三种表达式是:               
。

突破点   1:用待系数法求解析式(即列二元一次方程组求                      k、b  的值);

                           3
    练习:在反比例函数         y    的图象上任取一点向两坐标轴作垂线与坐标
                          x
轴围成矩形的面积是                ;


(2)观察反比例函数与一次函数图像,判断大小。

    如图,直线     y=kx+b 经过  A(﹣1,1)和    B(﹣   7 ,0)两点,则不等式         0<
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kx+b<﹣x 的解集为          .


(3)反比例函数与一次函数的综合应用,求解析式(突破点                          2:利用公共的

交点坐标列方程)。

突破点   3:求最短距离(或三角形最小周长)的问题就是利用对称性勾勒出一
条线段。

考点  3、二次函数

(1)二次函数的三种表达式,顶点坐标公式,对称轴方程。

(2)二次函数平移举例:口诀:                                  ;

    ①  y  2x2 向右平移   1 个单位得              ;②   y  2x2 向上平移   2 个
                             1
单位得                 ;③   y   (x  3)2 向左平移 4 个单位得            
                             2
         1                                             1
;④   y   (x  3)2 向下平移 2 个单位得                ;⑤   y  (x  2)2 向右
         2                                             3
平移  1 个单位再向上平移        2 个单位得                ;

(3)二次函数      y  x2  2x  3与 x 轴交点的坐标为                 ;与   y 轴交
点的坐标为              。

(4)利用二次函数图像的对称性求点的坐标,观察二次函数图像特殊点的值,
判断代数式的正负情况。
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练习:1、已知二次函数          y  ax 2  bx  c(a  0) 的图象如图所示,有下列     5 个

结论:①       abc  0 ;②   b  a  c ;③  4a  2b  c  0 ;④ 2c  3b ;⑤ 

a  b  m(am  b) ,( m  1的实数)其中正确的结论有(              )

    A. 2 个    B. 3 个    C. 4 个     D. 5 个

2、如图是二次函数        y=ax2+bx+c   图象的一部分,图象过
点 A(-3,0),对称轴为          x=-1.给出四个结论:
①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中
正确结论是(  ).
(A)②④         (B)①④         (C)②③         (D)①③

考点  4、三角函数:

(1)概念:

三角函数的意义:          正弦= ——          余弦= ——         正切= ——

(2)特殊角的三角函数值:

    sin30 °=cos60°=              tan30 °=    

    sin45 °=cos45°=              tan45°=     

    sin60 °=cos30°=              tan60 °=    

(3)通常考法,两个有公共边的三角形,设公共边的长度为                          x。

(4)坡度就是正切

    突破点归纳:函数的问题其实就是解决点的坐标的问题。函数图像上未
知点的设法:一般设横坐标,纵坐标用解析式来表示。例如:y=x2                           图像上的
一点设为(a,a2)。然后通过等量关系式列方程,求出                       a 的值。
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(5)突破点:利用三角函数可以求出三角形的边。方法:想办法转化在直角

三角形中。

三、几何图形

1、求线段长度或证明线段相等的方法

三角形全等,特殊四边形的性质,三角形相似                      ,勾股定理,三角函数,角平
分线的性质,中垂线的性质,对称(轴对称、中心对称)。

  识记一些常见的勾股数:①3、4、5;②6、8、10;③5、12、13;

④8、15、17;⑤7、24、25;⑥9 、12、15;⑦9、40、41;

2、求角度或角相等的方法

三角形全等,特殊四边形的性质,三角形相似,对称(轴对称、中心对称),
平行线的性质。

3、三角形

(1)直角三角形的相关性质的对应模型

①如图,在      Rt△ABC  中,CD   是斜边    AB 上的中线,已知       CD=5,AC=6,则
tanB 的值是      ;

②如图,△ABC     中,∠ACB=90°,CD⊥AB     于点  D,∠A=30°,BD=1.5cm,则     AB=          
cm.

③如图,在△ABC       中,∠C=90°,∠B=30°,DE⊥AB,垂足为              E,若  DB=
10,AB=18,则    AC=      . 

                                                           3
④已知    AB 是⊙O   的直径,C     是⊙O   上的一点,且      AB=10,sin  B   ,求
                                                           5
AC 的长。
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(2)等腰三角形的性质与判定(分类讨论思想)

练习:①已知等腰三角形的一个内角等于                   50°,则其余两角的度数分别为                  .

②等腰三角形的周长为           13cm,其中一边长为        3cm,则该等腰三角形的腰长为                  .

③若一个直角三角形两直角边之比为                 3:4,斜边长     20cm,斜边上的高长为     
。

④等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为                    45,则其顶角是(  )   

A.  45              B.135

C.  45或135         D.  67.5

(3)等边三角形特殊线段之间的比例关系

①边长    a 为的等边三角形的面积为                  ;

②等边△ABC     的周长为     12cm,则它的面积为              ;

③要使正六边形旋转后能与自身重合,至少应将它绕

中心逆时针方向旋转           度;④已知正六边形的边长为              6,则它的外接圆的圆
心到边上的距离是            ;

⑤如图,在半径为         5 的⊙O  中,若弦     AB=8,则△AOB     的面积为(  )

   A.24       B.16      C.12       D.8

4、特殊四边形
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考虑的入手点分为:边、角、对角线。(尤其是对角线的特征容易被忽略)

5、多边形公式:n       边形的内角和等于                    ;任意多边形的外角和等于     

。

6、圆的性质与常见辅助线的做法(圆是做题的辅助工具)

(1)直线和圆的位置关系:(要写出圆心距                   d 与半径   r 的关系)

①                     ②                     ③                    

(2)内心、外心:

(1)内心:三角形三条                         的交点(即三角形               的圆心);
    注意:锐角三角形的内心在三角形的                        ;直角三角形的内心在三角
形的        ;钝角三角形的内心在三角形的                    ;

(2)外心:三角形三条                         的交点(即三角形               的圆心);
    注意:锐角三角形的外心在三角形的                        ;直角三角形的外心在三角
形的        ;钝角三角形的外心在三角形的                    ;


7、与扇形有关的计算公式:

①弧长公式:                   ;②扇形面积公式:                      ;

圆锥的侧面积公式:                     ;④圆锥的全面积公式:                       ;

⑤圆柱的侧面积公式:                      ;⑥圆柱的全面积公式:            
;

8、找隐含条件:①公共边;②公共角;③对顶角;④三角形的外角;⑤同弧
所对的圆周角;⑥由半径相等推出角相等(即等边对等角);⑦直径所对的
圆周角等于     90°;⑧圆内接四边形的对角互补;
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四、概率与统计

1、平均数、中位数(排序,分奇偶)、众数、方差、极差、标准差:

(1)①算术平均数:②加权平均数;

(2)中位数:

(3)众数:

(4)方差:

(5)极差:

一组数据:1、2、4、3、2、4、2、4,它们的平均数为                                ,众数为       
,中位数为       。

一组数据:-3,5,9,12,6          的极差是            .

2、频数:每个对象出现的                  ;所有频率之和等于                 ;

频数、频率、总次数三者之间的关系:频率=                           ;频数=           ;总
次数=          ;

 注意:中位数经常与频数搭配考查。

3、三种统计图的特点

4、概率(树状图,列表法)

通常分为“取出放回”和“取出不放回”两种模型。
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